简介

  • 机器人学中的数学

工业机器人领域使用到的数学

工业机器人领域涉及到多个数学分支，这些数学工具用于机器人的建模、运动规划、控制系统设计等方面。以下是在工业机器人领域常用的数学：

  1. 线性代数（Linear Algebra）： 工业机器人中广泛使用线性代数来表示和处理坐标变换、运动学和动力学问题。矩阵和向量的运算在描述机器人的位姿、关节角度以及执行器的运动方面非常有用。

  2. 几何学（Geometry）： 机器人的运动学建模涉及到坐标系变换、旋转矩阵、齐次坐标等几何概念。几何学的知识用于描述和计算机器人末端执行器的位置和姿态。

  3. 微积分（Calculus）： 运动规划、轨迹生成和优化算法通常需要微积分的方法。例如，对机器人的路径进行优化时，需要计算速度、加速度等。

  4. 数值分析（Numerical Analysis）： 工业机器人控制系统通常需要进行数值计算，如逆运动学求解、路径规划、动力学模拟等。数值分析提供了有效和稳定的算法来解决这些问题。

  5. 控制理论（Control Theory）： 控制理论用于设计机器人的控制系统，包括反馈控制、PID控制器、状态空间控制等。这些方法有助于保持机器人在目标轨迹上的准确性和稳定性。

  6. 优化理论（Optimization Theory）： 优化方法在工业机器人中的应用很广泛，例如路径规划、运动优化、参数优化等。这有助于提高机器人的效率和性能。

  7. 刚体运动学（Rigid Body Kinematics）： 刚体运动学用于描述机器人末端执行器的位置、速度和加速度，以及机器人关节的运动学性质。

  8. 机器学习和人工智能（Machine Learning and AI）： 近年来，机器学习和人工智能在机器人领域的应用逐渐增多，包括视觉识别、自主导航、智能控制等。

这些数学工具的综合运用使得工业机器人能够执行更复杂、精确和灵活的任务，提高了生产效率和质量。

弧度和角度转换关系

弧度（radians）和角度（degrees）之间的转换关系可以通过以下公式表示：

  1. 从角度到弧度的转换：

    弧度 = 角度 × π / 180

    其中，π（pi）是圆周率，约等于3.14159265359。

    例如，将角度 90 度转换为弧度：

    弧度 = 90 × π / 180 = π / 2 弧度

  2. 从弧度到角度的转换：

    角度 = 弧度 × 180 / π

    例如，将弧度 π/2 转换为角度：

    角度 = (π / 2) × 180 / π = 90 度

这些公式允许你在弧度和角度之间进行相互转换。这在数学、物理学、工程学以及机器人学等领域中非常常见，因为不同的问题和公式可能使用不同的单位，所以需要进行转换以便正确地处理数据。

机器人学 弧度 角度 转换

在机器人学和计算机图形学中，经常需要在弧度（radians）和角度（degrees）之间进行转换，以便在不同的数学和编程上下文中使用。以下是弧度和角度之间的常见转换方法：

  1. 从角度到弧度的转换：

    如果你有一个角度（以度为单位），想要将其转换为弧度（以弧度为单位），可以使用以下公式：

    [ \text{弧度} = \frac{\text{角度} \times \pi}{180} ]

    例如，如果要将角度 90 度转换为弧度：

    [ \text{弧度} = \frac{90 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ radians} ]

  2. 从弧度到角度的转换：

    如果你有一个弧度（以弧度为单位），想要将其转换为角度（以度为单位），可以使用以下公式：

    [ \text{角度} = \frac{\text{弧度} \times 180}{\pi} ]

    例如，如果要将弧度 (\frac{\pi}{2}) 转换为角度：

    [ \text{角度} = \frac{\frac{\pi}{2} \times 180}{\pi} = 90^\circ ]

这些转换公式是标准的数学关系，用于在角度和弧度之间进行转换。在机器人学和计算机图形学中，通常需要根据具体问题将角度和弧度进行相互转换，以便进行正确的计算和旋转操作。确保在程序中使用适当的单位，以避免单位混淆和错误的计算。

机器人学 轴角为初始姿态 加上欧拉角 最终获取轴角 如何计算

在机器人学中，如果你有一个初始姿态（用轴角表示）和一个欧拉角，然后想要将这个欧拉角旋转添加到初始姿态中，最终获取新的轴角表示，你可以按照以下步骤进行计算：

  1. 将初始轴角（Axis-Angle）表示转换为旋转矩阵（Rotation Matrix）或四元数（Quaternion）。

    • 如果你的初始姿态使用轴角表示为 (AA_{init} = (\mathbf{u}{init}, \theta{init}))，其中 (\mathbf{u}{init}) 是旋转轴的单位向量，(\theta{init}) 是旋转的角度，那么你可以使用轴角到旋转矩阵或四元数的转换公式将其转换为旋转矩阵 (R_{init}) 或四元数 (Q_{init})。

  2. 将欧拉角转换为旋转矩阵。

    • 如果你有欧拉角表示为 (E = (\alpha, \beta, \gamma))，其中 (\alpha) 是滚动角，(\beta) 是俯仰角，(\gamma) 是偏航角，那么你可以使用欧拉角到旋转矩阵的转换公式将其转换为旋转矩阵 (R_{E})。

  3. 计算最终的旋转矩阵。

    • 将初始的旋转矩阵 (R_{init}) 与欧拉角的旋转矩阵 (R_{E}) 相乘，得到最终的旋转矩阵 (R_{final} = R_{init} \cdot R_{E})。

  4. 将最终的旋转矩阵转换为轴角。

    • 最后，你可以使用旋转矩阵到轴角的转换公式，将最终的旋转矩阵 (R_{final}) 转换为轴角表示 (AA_{final} = (\mathbf{u}{final}, \theta{final}))。

需要注意的是，转换公式的具体形式取决于你使用的坐标系约定和数学库（例如，Eigen、Mathematics Toolbox等）。因此，在实际应用中，请查阅相应的文档以确保正确的转换。

通过这个过程，你可以将初始轴角姿态与欧拉角旋转相结合，获得最终的轴角姿态。这种方法允许你在不同表示之间进行转换，并有效地管理机器人的姿态。

机器人学 旋转矩阵 运算 详解

在机器人学中，旋转矩阵是一种常用的表示方法，用于描述三维空间中的旋转操作。旋转矩阵是一个3x3的矩阵，其中每一列和每一行都是一个单位向量，用来表示旋转后的坐标系的方向。通过旋转矩阵，可以非常有效地表示和计算物体的旋转。

以下是关于机器人学中旋转矩阵运算的详细解释：

  1. 旋转矩阵的表示：

    一个通用的旋转矩阵通常表示为：

    [ R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \ r_{21} & r_{22} & r_{23} \ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} ]

    其中，( R ) 是旋转矩阵，( r_{ij} ) 表示矩阵的元素，表示旋转后的坐标系的方向。

  2. 旋转矩阵的性质：

    • 旋转矩阵是正交矩阵（orthogonal matrix），即它的列向量和行向量都是单位向量，并且相互垂直。这意味着旋转矩阵的转置等于其逆。

    • 旋转矩阵的行和列表示了新坐标系的基向量。

    • 旋转矩阵的行（或列）的长度不变，即 ( |r_i| = 1 )。

  3. 旋转矩阵的运算：

    • 旋转矩阵可以用于将一个点从一个坐标系转换到另一个坐标系。给定一个点的坐标 ( \mathbf{p} )，通过乘以旋转矩阵 ( R )，可以得到旋转后的坐标 ( \mathbf{p}’ )：

      [ \mathbf{p}’ = R \cdot \mathbf{p} ]

    • 旋转矩阵之间可以进行矩阵乘法来表示复合旋转。如果有两个旋转矩阵 ( R_1 ) 和 ( R_2 )，它们分别表示两个旋转操作，那么它们的复合旋转可以表示为：

      [ R = R_1 \cdot R_2 ]

    • 旋转矩阵的逆矩阵表示相反的旋转。如果 ( R ) 表示一个旋转，那么 ( R^{-1} ) 表示相反的旋转，即将物体旋转回初始位置。

  4. Euler角到旋转矩阵：

    通常，可以使用欧拉角（滚动、俯仰、偏航）来构建旋转矩阵。不同的欧拉角顺序会产生不同的旋转矩阵。例如，在XYZ顺序下，可以使用以下方式构建旋转矩阵：

    [ R = R_z(\text{偏航角}) \cdot R_y(\text{俯仰角}) \cdot R_x(\text{滚动角}) ]

    其中，( R_x )、( R_y ) 和 ( R_z ) 分别表示绕X、Y和Z轴的旋转矩阵。

旋转矩阵是机器人学中非常重要的工具，因为它们允许精确描述和计算旋转操作，这对于机器人的定位、导航和运动控制非常关键。通过旋转矩阵，机器人可以准确地执行各种复杂的旋转操作。然而，需要注意的是，旋转矩阵的运算可能比其他表示方法（如四元数）稍显复杂，因此在实际应用中需要小心处理。

轴角 详解

轴角（Axis-Angle）表示一种在三维空间中描述旋转的方式。它使用一个轴向量和一个角度来表示旋转操作。轴角常用于计算机图形学、机器人学以及三维游戏开发等领域，因为它可以更直观地描述旋转操作，而不像欧拉角那样容易出现万向锁问题。

轴角由以下两个要素组成：

  1. 轴向量（Axis Vector）：这是一个单位向量，用于定义旋转的轴线方向。轴向量通常表示为单位长度的三维向量，例如 (x, y, z)，其中 (x, y, z) 是轴的方向向量。

  2. 旋转角度（Angle）：这是绕轴线旋转的角度，通常以弧度（radians）为单位表示。角度可以是正数或负数，表示旋转的方向，通常在 0 到 2π（360度）之间。

轴角表示一个旋转操作，其效果是绕轴向量指定的轴线旋转一定的角度。旋转角度的方向由轴向量的方向确定，旋转的大小由旋转角度表示。

轴角的表示方式可以用以下公式表示：

[ \text{Rotation} = \theta \cdot \mathbf{u} ]

其中：

  • ( \theta ) 是旋转角度，以弧度表示。
  • ( \mathbf{u} ) 是单位轴向量，表示旋转的轴。

轴角的使用步骤通常如下：

  1. 定义轴向量（单位向量），表示旋转的轴线方向。
  2. 指定旋转的角度（以弧度为单位）。
  3. 使用轴向量和旋转角度构建轴角表示。

轴角的优点之一是它没有欧拉角的万向锁问题，因此在某些情况下更容易处理。然而，它相对较难以直观地理解，因此在实际应用中，通常会使用其他表示方法，如四元数（Quaternions），以更方便地进行旋转计算。

总之，轴角是一种用于描述三维空间中旋转的方法，它使用轴向量和旋转角度来表示旋转操作。

欧拉角 详解

欧拉角（Euler Angles）是一种用于描述物体在三维空间中旋转的方法。它是以数学家Leonhard Euler的名字命名的，用于将旋转运动分解为三个连续的旋转操作，通常分别绕X轴、Y轴和Z轴进行旋转。欧拉角是一种常见的旋转表示方法，用于计算机图形学、航空航天、机器人学、三维动画等领域。

欧拉角通常由三个角度组成，分别是：

  1. 滚动角（Roll）：也称为Bank角，表示绕X轴的旋转。滚动角度用来描述物体绕其自身前后轴的旋转，通常以弧度（radians）为单位表示。正角度表示顺时针旋转，负角度表示逆时针旋转。

  2. 俯仰角（Pitch）：也称为Elevation角，表示绕Y轴的旋转。俯仰角度用来描述物体绕其自身左右轴的旋转，通常以弧度为单位表示。正角度表示向上旋转，负角度表示向下旋转。

  3. 偏航角（Yaw）：也称为Heading角，表示绕Z轴的旋转。偏航角度用来描述物体绕其自身垂直轴的旋转，通常以弧度为单位表示。正角度表示顺时针旋转，负角度表示逆时针旋转。

欧拉角的顺序很重要，因为它们定义了旋转的顺序。常见的欧拉角顺序包括：

  • XYZ：首先绕X轴旋转，然后绕Y轴旋转，最后绕Z轴旋转。
  • ZYX：首先绕Z轴旋转，然后绕Y轴旋转，最后绕X轴旋转。
  • YXZ：首先绕Y轴旋转，然后绕X轴旋转，最后绕Z轴旋转。

不同的欧拉角顺序可能导致不同的旋转结果，因此在使用欧拉角时必须确保选定了正确的顺序。

尽管欧拉角在许多情况下非常直观，但它们也存在一些问题，例如万向锁问题，即在某些情况下无法唯一表示旋转。为了避免这些问题，有时会使用其他旋转表示方法，如四元数（Quaternions）。

总之，欧拉角是一种用于描述三维空间中旋转的常见方法，它由三个角度组成，表示绕X、Y和Z轴的旋转。欧拉角的顺序非常重要，并且在某些情况下可能存在问题，因此在使用时需要谨慎选择。